В правильной четырёхугольной призме ABCDA₁B₁C₁D₁ сторона основания AB равна 8, боковое ребро AA₁ равно 4√2. На рёбрах BC и C₁D₁ отмечены точки P и Q так, что BP : PC = C₁Q : QD₁ = 1 : 3. Через точки P и Q параллельно прямой BD проходит плоскость α. В вершину A поместили прямоугольную систему координат так, что оси x, y и z совпали с рёбрами AB, AD и AA₁ соответственно. Найдите уравнение плоскости α и вычислите синус угла между прямой A₁C и α. В ответ запишите градусную меру угла.

Так как основание правильной четырёхугольной призмы — квадрат, зададим координаты вершин: A(0; 0; 0), B(8; 0; 0), D(0; 8; 0), C(8; 8; 0), A₁(0; 0; 4√2), C₁(8; 8; 4√2), D₁(0; 8; 4√2).

Из отношения BP : PC = 1 : 3 получаем P(8; 2; 0). Аналогично, из C₁Q : QD₁ = 1 : 3 следует Q(6; 8; 4√2).

Направляющий вектор BD можно взять равным (−1; 1; 0), а вектор PQ равен (−2; 6; 4√2). Их векторное произведение — нормаль плоскости α: (4√2; 4√2; −4), или, после сокращения, (√2; √2; −1).

Подставляем точку P и нормаль в уравнение плоскости: √2(x − 8) + √2(y − 2) − z = 0. Поэтому уравнение α: √2x + √2y − z − 10√2 = 0.

Направляющий вектор A₁C равен (8; 8; −4√2). Синус угла φ между прямой и плоскостью равен отношению модуля скалярного произведения направляющего вектора прямой на нормаль плоскости к произведению их длин:

sin φ = |(8; 8; −4√2) · (√2; √2; −1)| / (√(8² + 8² + (4√2)²) · √((√2)² + (√2)² + (−1)²)) = 20√2 / (4√10 · √5) = 1.

Следовательно, φ = 90°.

Ответ: α: √2x + √2y − z − 10√2 = 0; угол равен 90°.