В правильной шестиугольной призме $$ABCDEFA_1B_1C_1D_1E_1F_1$$ все рёбра равны $$\sqrt{5}$$. Найдите расстояние между точками $$B$$ и $$E_1$$.

В правильной шестиугольной призме $$ABCDEFA_1B_1C_1D_1E_1F_1$$ все рёбра равны $$\sqrt{5}$$. Нужно найти расстояние между точками $$B$$ и $$E_1$$.

Рассмотрим проекцию точки $$E_1$$ на плоскость основания $$ABCDEF$$. Это точка $$E$$. Тогда $$B E_1$$ является гипотенузой прямоугольного треугольника $$BEE_1$$, где $$EE_1 = \sqrt{5}$$ (ребро призмы), а $$BE$$ - диагональ шестиугольника.

Диагональ $$BE$$ шестиугольника состоит из двух длин сторон, так как правильный шестиугольник состоит из шести равносторонних треугольников. $$BE = 2 \cdot AE = 2 \cdot \sqrt{5}$$

По теореме Пифагора находим $$BE_1$$:

$$BE_1 = \sqrt{BE^2 + EE_1^2} = \sqrt{(2\sqrt{5})^2 + (\sqrt{5})^2} = \sqrt{4 \cdot 5 + 5} = \sqrt{25} = 5$$

Ответ: 5