Радиус окружности равен 1. Найдите величину острого вписанного угла, опирающегося на хорду, равную \$$\sqrt{2}\$$. Ответ дайте в градусах.

$$\bf Решение:$$ Пусть радиус окружности равен $$r = 1$$, а хорда AB равна $$\sqrt{2}$$. Треугольник AOB (где O - центр окружности) равнобедренный (OA = OB = r = 1). Используем теорему косинусов, чтобы найти угол AOB (центральный угол, опирающийся на хорду AB): $$AB^2 = OA^2 + OB^2 - 2 * OA * OB * cos(\angle AOB)$$ $$(\sqrt{2})^2 = 1^2 + 1^2 - 2 * 1 * 1 * cos(\angle AOB)$$ $$2 = 1 + 1 - 2 * cos(\angle AOB)$$ $$2 = 2 - 2 * cos(\angle AOB)$$ $$0 = -2 * cos(\angle AOB)$$ $$cos(\angle AOB) = 0$$ Следовательно, $$\angle AOB = 90$$ градусов. Острый вписанный угол, опирающийся на хорду AB, равен половине центрального угла AOB: $$90 / 2 = 45$$ $$\bf Ответ:$$ 45 градусов.