27. В правильной шестиугольной призме ABCDEFA1B1C1D1E1F1 радиус окружности, вписанной в основание, равен 15, а боковое ребро равно 16. Найдите расстояние между вершинами А и С1.

Ответ: 34

• Шаг 1: Найдем сторону основания (a) через радиус вписанной окружности (r).

В правильном шестиугольнике связь между стороной и радиусом вписанной окружности:

\[r = \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot a\]

Выразим a через r:

\[a = \frac{2r}{\sqrt{3}} = \frac{2 \cdot 15}{\sqrt{3}} = \frac{30}{\sqrt{3}} = 10\sqrt{3}\]

• Шаг 2: Найдем расстояние AC в основании.

AC в правильном шестиугольнике можно найти как:

\[AC = a \sqrt{3} = 10\sqrt{3} \cdot \sqrt{3} = 10 \cdot 3 = 30\]

• Шаг 3: Рассмотрим прямоугольный треугольник ACC1, где AC = 30 и CC1 = 16 (боковое ребро).

Используем теорему Пифагора для нахождения AC1:

\[AC_1 = \sqrt{AC^2 + CC_1^2} = \sqrt{30^2 + 16^2} = \sqrt{900 + 256} = \sqrt{1156} = 34\]

Ответ: 34