В правильной треугольной пирамиде SABC ребро AC равно 3, SA равно 2√3. Найдите угол между прямой SA и плоскостью грани SBC.

Краткая запись:

• Пирамида SABC
• Правильная треугольная
• AC = 3
• SA = $$2\sqrt{3}$$
• Найти: Угол между SA и плоскостью SBC — ?

Пошаговое решение:

1. Шаг 1: Определяем, что такое правильная треугольная пирамида. Это означает, что основание ABC — правильный (равносторонний) треугольник, а боковые грани SAB, SBC, SCA — равные равнобедренные треугольники.
2. Шаг 2: Находим сторону основания. AC = 3. Поскольку треугольник ABC равносторонний, AB = BC = AC = 3.
3. Шаг 3: Находим высоту боковой грани (например, высоту, опущенную из A на BC). В равнобедренном треугольнике SBC, SB = SC = SA = $$2\sqrt{3}$$.
4. Шаг 4: Опускаем перпендикуляр из A на плоскость грани SBC. Пусть это будет точка H. Тогда искомый угол — это угол ASH.
5. Шаг 5: Найдем длину AH. AH — это высота треугольника ABC, проведенная к стороне BC. В равностороннем треугольнике ABC:
• \( AH = \frac{\sqrt{3}}{2} imes AB = \frac{\sqrt{3}}{2} imes 3 = \frac{3\sqrt{3}}{2} \).
6. Шаг 6: Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник ASH. В нем AH — катет, SA — гипотенуза. Нам нужно найти угол ASH.
7. Шаг 7: Используем тригонометрию: \( \sin(\angle ASH) = \frac{AH}{SA} \).
8. Шаг 8: Подставляем значения:
• \( \sin(\angle ASH) = \frac{\frac{3\sqrt{3}}{2}}{2\sqrt{3}} = \frac{3\sqrt{3}}{2 imes 2\sqrt{3}} = \frac{3\sqrt{3}}{4\sqrt{3}} = \frac{3}{4} \).
9. Шаг 9: Находим угол:
• \( ASH = \arcsin(\frac{3}{4}) \).

Ответ: $$\arcsin(\frac{3}{4})$$