В правильной треугольной призме ABCA₁B₁C₁ на ребре AB отмечена точка M, а на ребре AA₁ отмечена точка K так, что AM : MB = AK : KA₁ = 1 : 2. а) Постройте сечение плоскостью α, проходящей через точки M, K параллельно BC. б) Докажите, что плоскость α параллельна прямой A₁C. в) Сторона основания равна 12, боковое ребро 9. Найдите периметр сечения.

а) Построение сечения. Проведём через M прямую, параллельную BC. Она пересечёт AC в точке N. Так как AM : MB = 1 : 2, то AM/AB = 1/3. Из подобия треугольников AMN и ABC получаем AN/AC = 1/3. Кроме того, AK/AA₁ = 1/3. Следовательно, в треугольнике AA₁C точки N и K делят стороны AC и AA₁ в одинаковом отношении; проведём KN. Сечение — треугольник MKN.

б) Доказательство. В треугольнике AA₁C имеем AN/AC = AK/AA₁ = 1/3, поэтому NK ∥ A₁C. Прямая NK лежит в плоскости α, а A₁C ей параллельна и не лежит в α: плоскость α пересекает ребро AA₁ в K, а не в A₁. Следовательно, A₁C ∥ α.

в) Периметр сечения. Пусть высота призмы равна 9, а сторона основания — 12. Возьмём координаты A(0; 0; 0), B(12; 0; 0), C(6; 6√3; 0), A₁(0; 0; 9). Тогда M(4; 0; 0), K(0; 0; 3), N(2; 2√3; 0).

Вычислим стороны треугольника: MN = 4, MK = √(4² + 3²) = 5, KN = √(2² + (2√3)² + 3²) = 5. Поэтому периметр равен 4 + 5 + 5 = 14.

Ответ: 14.