В тетраэдре SABC на ребре SB отметили середину M. а) Постройте сечение плоскостью, проходящей через точку M параллельно AB и SC. б) Найдите площадь сечения, если все рёбра равны 16.

а) Построение сечения. Обозначим через N середину SA, через P — середину BC, через Q — середину AC. В треугольнике SAB отрезок MN соединяет середины двух сторон, поэтому MN ∥ AB. В треугольнике SBC отрезок MP соединяет середины сторон, поэтому MP ∥ SC. В треугольнике ABC отрезок PQ соединяет середины сторон, поэтому PQ ∥ AB; в треугольнике SAC отрезок NQ соединяет середины сторон, поэтому NQ ∥ SC. Таким образом, сечение — параллелограмм MPQN.

б) Площадь сечения. Поскольку M и N — середины рёбер SB и SA, MN = AB/2 = 8. Аналогично MP = SC/2 = 8. В параллелограмме MPQN стороны MN и MP соответственно параллельны AB и SC. В правильном тетраэдре противоположные рёбра AB и SC перпендикулярны: точки S и C равноудалены от A и B, значит, лежат в плоскости, перпендикулярной AB через его середину. Поэтому MPQN — квадрат со стороной 8.

Площадь сечения: 8² = 64.

Ответ: 64.