В4. Прямоугольник ABCD имеет стороны АВ = 3 и AD = 4. Этот прямоугольник перегнут по диагонали АС так, что образовался прямой двугранный угол. Найдите расстояние между вершинами В и Д.

1. Дан прямоугольник ABCD со сторонами AB = 3 и AD = 4. Его перегнули по диагонали AC так, что образовался прямой двугранный угол между плоскостями ABC и ADC.

2. Найдем диагональ AC по теореме Пифагора: $$AC = \sqrt{AB^2 + BC^2} = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5$$.

3. Пусть B' и D' - новые положения точек B и D после перегибания. Так как двугранный угол прямой, плоскости ABC и ADC перпендикулярны.

4. Ищем расстояние между вершинами B и D после перегибания, то есть расстояние между точками B' и D'.

5. Рассмотрим тетраэдр AB'CD'. В нем AC = 5, AB' = 3, CD' = 3, AD' = 4, CB' = 4.

6. Поскольку двугранный угол между плоскостями ABC и ADC прямой, треугольники AB'C и AD'C прямоугольные.

7. Расстояние B'D' можно найти, рассмотрев треугольник B'AD'.

8. B'D' является гипотенузой, поэтому по теореме Пифагора $$B'D'^2 = AB'^2 + AD'^2 - 2 \cdot AB' \cdot AD' \cdot cos(\angle B'AD')$$.

9. Пусть O - середина AC. Тогда B'O = DO = √(AB'^2 - AO^2) = √(9 - 25/4) = √(11/4) = √11/2.

10. Так как B'CD' и ACD' - прямоугольные, то ∠B'OD' = 90 градусов.

11. Тогда $$B'D' = \sqrt{B'O^2 + D'O^2} = \sqrt{(\frac{\sqrt{11}}{2})^2 + (\frac{\sqrt{11}}{2})^2} = \sqrt{\frac{11}{4} + \frac{11}{4}} = \sqrt{\frac{22}{4}} = \frac{\sqrt{22}}{2}$$.

Ответ: $$\frac{\sqrt{22}}{2}$$