В прямоугольнике ABCD ∠BCA : ∠DCA = 1 : 5, AC = 18 см. Найдите расстояние от точки C до диагонали BD.

Диагональ AC делит прямой угол BCD, поэтому \(\angle BCA + \angle DCA = 90°\). Отношение углов равно 1 : 5, значит, \(\angle BCA = 15°\), а \(\angle DCA = 75°\).

Положим \(BC = w\), \(CD = h\). В прямоугольном треугольнике BCD расстояние от C до диагонали BD — это высота к гипотенузе. Площадь этого треугольника можно выразить двумя способами:

\(\frac{1}{2}wh = \frac{1}{2}BD\cdot d\), где \(d\) — искомое расстояние.

Поскольку \(BD = AC = 18\), а из прямоугольного треугольника ACD получаем \(w = 18\cos15°\) и \(h = 18\sin15°\), имеем:

\(d = \frac{wh}{18} = 18\sin15°\cos15° = 9\sin30° = 4.5\) см.

Ответ: 4,5 см.