В прямоугольнике ABCD биссектриса угла D пересекает сторону AB в точке M. Докажите, что AADM - равнобедренный. Найдите периметр прямоугольника, если сторона AB оказалась разбита на отрезки длиной 3 см и 5 см. Сколько решений имеет задача?

Доказательство, что ΔADM – равнобедренный:

В прямоугольнике ABCD угол A равен 90°. Так как DM – биссектриса угла D, то ∠ADM = ∠MDC. Углы ∠ADM и ∠DMC являются накрест лежащими при параллельных прямых AD и BC и секущей DM, следовательно, ∠ADM = ∠DMC. Таким образом, в треугольнике ΔADM углы ∠ADM и ∠DMC равны, следовательно, треугольник равнобедренный, и AD = AM.

Нахождение периметра прямоугольника:

Сторона AB разбита на отрезки длиной 3 см и 5 см, значит, AB = 3 + 5 = 8 см. Так как ΔADM – равнобедренный, то AD = AM = 3 см.

Периметр прямоугольника ABCD равен $$P = 2(AB + AD) = 2(8 + 3) = 2 cdot 11 = 22$$ см.

Количество решений задачи:

Задача имеет одно решение, так как длины отрезков, на которые биссектриса делит сторону AB, определены однозначно (3 см и 5 см), и, следовательно, периметр прямоугольника также определяется однозначно.

Ответ: Периметр прямоугольника равен 22 см, задача имеет одно решение.