6. В прямоугольнике диагональ равна 178, угол между ней и одной из сторон равен 30°, длина этой стороны \(\frac{89}{\sqrt{3}}\) . Найдите площадь прямоугольника, деленную на \(\sqrt{3}\).

Разбираемся:

1. Пусть дан прямоугольник со сторонами \(a\) и \(b\), диагональю \(d\) и углом \(\alpha\) между диагональю и стороной \(a\). Тогда \(a = \frac{89}{\sqrt{3}}\) и \(d = 178\), \(\alpha = 30^\circ\).
2. Находим сторону \(b\), используя синус угла \(\alpha\):
   \[\sin(\alpha) = \frac{b}{d} \Rightarrow b = d \cdot \sin(\alpha) = 178 \cdot \sin(30^\circ) = 178 \cdot \frac{1}{2} = 89\]
3. Находим площадь прямоугольника:
   \[S = a \cdot b = \frac{89}{\sqrt{3}} \cdot 89 = \frac{89^2}{\sqrt{3}} = \frac{7921}{\sqrt{3}}\]
4. Находим площадь, деленную на \(\sqrt{3}\):
   \[\frac{S}{\sqrt{3}} = \frac{7921}{\sqrt{3} \cdot \sqrt{3}} = \frac{7921}{3}\]

Ответ: \(\frac{7921}{3}\)