2) В прямоугольнике диагональ равна 10, угол между ней и одной из сторон равен 30°, длина этой стороны 5√3. Найдите площадь прямоугольника, деленную на √3.

Ответ: 25

Разбираемся:

В прямоугольнике диагональ равна 10, угол между ней и одной из сторон равен 30°, длина этой стороны \(5\sqrt{3}\). Нужно найти площадь прямоугольника, делённую на \(\sqrt{3}\).

Пусть дана прямоугольник ABCD, где AB = \(5\sqrt{3}\) и диагональ AC = 10. Угол между диагональю AC и стороной AB равен 30°.

Площадь прямоугольника ABCD равна произведению его сторон: S = AB \(\cdot\) BC.

Чтобы найти сторону BC, воспользуемся тригонометрической функцией синуса угла CAB:

\[\sin(\angle CAB) = \frac{BC}{AC}\] \[\sin(30°) = \frac{BC}{10}\]

Мы знаем, что \(\sin(30°) = \frac{1}{2}\), поэтому:

\[\frac{1}{2} = \frac{BC}{10}\] \[BC = 10 \cdot \frac{1}{2} = 5\]

Теперь мы знаем обе стороны прямоугольника: AB = \(5\sqrt{3}\) и BC = 5.

Площадь прямоугольника равна:

\[S = AB \cdot BC = 5\sqrt{3} \cdot 5 = 25\sqrt{3}\]

Нам нужно найти площадь, делённую на \(\sqrt{3}\):

\[\frac{S}{\sqrt{3}} = \frac{25\sqrt{3}}{\sqrt{3}} = 25\]

Ответ: 25