В прямоугольном параллелепипеде ABCDA₁B₁C₁D₁ известны ребра AB = 5, AD = 1,4, AA₁ = 0,7. Найдите площадь сечения параллелепипеда плоскостью, проходящей через диагональ A₁D боковой грани и вершину С нижнего основания.

Пошаговое решение:

1. Шаг 1: Определим координаты вершин.
   Пусть точка A имеет координаты (0, 0, 0). Тогда:
   A = (0, 0, 0)
   B = (5, 0, 0)
   D = (0, 1.4, 0)
   A₁ = (0, 0, 0.7)
   C = (5, 1.4, 0)
2. Шаг 2: Найдем координаты нужных точек.
   A₁ = (0, 0, 0.7)
   D = (0, 1.4, 0)
   C = (5, 1.4, 0)
3. Шаг 3: Найдем векторы, определяющие сечение.
   Вектор A₁D = D - A₁ = (0 - 0, 1.4 - 0, 0 - 0.7) = (0, 1.4, -0.7)
   Вектор A₁C = C - A₁ = (5 - 0, 1.4 - 0, 0 - 0.7) = (5, 1.4, -0.7)
4. Шаг 4: Найдем вектор нормали к плоскости сечения.
   Вектор нормали N = A₁D × A₁C = \(\begin{vmatrix} i & j & k \\ 0 & 1.4 & -0.7 \\ 5 & 1.4 & -0.7 \end{vmatrix}\) = i(1.4 * -0.7 - (-0.7) * 1.4) - j(0 * -0.7 - (-0.7) * 5) + k(0 * 1.4 - 1.4 * 5)
   N = i(-0.98 + 0.98) - j(0 + 3.5) + k(0 - 7)
   N = (0, -3.5, -7)
5. Шаг 5: Уравнение плоскости сечения.
   Уравнение плоскости, проходящей через точку A₁(0, 0, 0.7) с нормалью N = (0, -3.5, -7):
   0(x - 0) - 3.5(y - 0) - 7(z - 0.7) = 0
   -3.5y - 7z + 4.9 = 0
   3.5y + 7z - 4.9 = 0
   y + 2z - 1.4 = 0
6. Шаг 6: Найдем точки пересечения плоскости с ребрами параллелепипеда.
   Плоскость проходит через A₁, D, C. Нам нужно найти точку пересечения с ребром B₁C₁. Ребро B₁C₁ задается параметрически: (5, y, 0.7), где 0 ≤ y ≤ 1.4.
   Подставляем в уравнение плоскости: y + 2(0.7) - 1.4 = 0
   y + 1.4 - 1.4 = 0
   y = 0. Так как 0 ≤ 0 ≤ 1.4, то плоскость пересекает ребро B₁C₁ в точке B₁ (5, 0, 0.7).
   Таким образом, сечение — это четырехугольник A₁DB₁C.
7. Шаг 7: Найдем длины сторон сечения.
   A₁D = \(\sqrt{0^2 + 1.4^2 + (-0.7)^2}\) = \(\sqrt{1.96 + 0.49}\) = \(\sqrt{2.45}\)
   DB₁: D=(0, 1.4, 0), B₁=(5, 0, 0.7). DB₁ = \(\sqrt{(5-0)^2 + (0-1.4)^2 + (0.7-0)^2}\) = \(\sqrt{25 + 1.96 + 0.49}\) = \(\sqrt{27.45}\)
   B₁C = (5, 0, 0.7) до (5, 1.4, 0). B₁C = \(\sqrt{(5-5)^2 + (1.4-0)^2 + (0-0.7)^2}\) = \(\sqrt{0 + 1.96 + 0.49}\) = \(\sqrt{2.45}\)
   CA₁: C=(5, 1.4, 0), A₁=(0, 0, 0.7). CA₁ = \(\sqrt{(0-5)^2 + (0-1.4)^2 + (0.7-0)^2}\) = \(\sqrt{25 + 1.96 + 0.49}\) = \(\sqrt{27.45}\)
8. Шаг 8: Определим тип четырехугольника.
   A₁D = B₁C и DB₁ = CA₁. Это параллелограмм.
9. Шаг 9: Найдем площадь сечения.
   Площадь параллелограмма = |A₁D × A₁C|. Мы уже нашли векторное произведение N = (0, -3.5, -7).
   Площадь = |N| = \(\sqrt{0^2 + (-3.5)^2 + (-7)^2}\) = \(\sqrt{12.25 + 49}\) = \(\sqrt{61.25}\)
   \(\sqrt{61.25} = \sqrt{\frac{245}{4}} = \frac{\sqrt{245}}{2} = \frac{\sqrt{49 imes 5}}{2} = \frac{7\sqrt{5}}{2}\)

Ответ: Площадь сечения равна \(\frac{7\sqrt{5}}{2}\)