В прямоугольном параллелепипеде $$ABCDA_1B_1C_1D_1$$ рёбра $$CD$$, $$BC$$ и диагональ боковой грани $$CD_1$$ равны соответственно 7, 6 и $$\sqrt{53}$$. Найдите объём параллелепипеда $$ABCDA_1B_1C_1D_1$$.

В прямоугольном параллелепипеде $$ABCDA_1B_1C_1D_1$$ даны ребра $$CD = 7$$, $$BC = 6$$ и диагональ боковой грани $$CD_1 = \sqrt{53}$$. Нужно найти объем параллелепипеда.

Обозначим ребра параллелепипеда как $$a = CD = 7$$, $$b = BC = 6$$, и $$c = DD_1$$, где $$c$$ - высота параллелепипеда.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $$CDD_1$$. По теореме Пифагора:

$$CD_1^2 = CD^2 + DD_1^2$$

$$(\sqrt{53})^2 = 7^2 + c^2$$

$$53 = 49 + c^2$$

$$c^2 = 53 - 49$$

$$c^2 = 4$$

$$c = \sqrt{4} = 2$$

Таким образом, высота параллелепипеда $$DD_1 = 2$$.

Объем прямоугольного параллелепипеда вычисляется по формуле:

$$V = a \cdot b \cdot c$$

Подставим значения $$a = 7$$, $$b = 6$$, $$c = 2$$:

$$V = 7 \cdot 6 \cdot 2$$

$$V = 42 \cdot 2$$

$$V = 84$$

Ответ: 84