462. В прямоугольном треугольнике ABC ($$\angle C = 90^\circ$$) медиана CM равна 6 см. Найдите модули векторов $$\vec{AB}$$ и $$\vec{AC}$$, если $$\angle A = 30^\circ$$.

В прямоугольном треугольнике ABC ($$\angle C = 90^\circ$$) известны:

• CM = 6 см - медиана, проведённая к гипотенузе AB


• $$\angle A = 30^\circ$$

Найти: $$|\vec{AB}|$$, $$|\vec{AC}|$$.

Решение:

1) В прямоугольном треугольнике медиана, проведённая из вершины прямого угла к гипотенузе, равна половине гипотенузы.

Тогда $$CM = \frac{1}{2}AB$$, откуда $$AB = 2 \cdot CM = 2 \cdot 6 = 12$$ см.

Следовательно, $$|\vec{AB}| = 12$$ см.

2) В прямоугольном треугольнике ABC катет, прилежащий к углу 30°, равен гипотенузе, умноженной на cos(30°), то есть AC = AB * cos(30°).

Тогда $$AC = 12 \cdot \cos(30^\circ) = 12 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 6 \sqrt{3}$$ см.

Следовательно, $$|\vec{AC}| = 6 \sqrt{3}$$ см.

Ответ: $$|\vec{AB}| = 12$$ см, $$|\vec{AC}| = 6 \sqrt{3}$$ см.