2. В прямоугольном треугольнике ABC ∠A=90°, AB=20см, высота AD=12см. Найдите АС и cos C.

2. В прямоугольном треугольнике ABC ∠A=90°, AB=20см, высота AD=12см. Необходимо найти АС и cos C.

Рассмотрим прямоугольный треугольник ABD. По теореме Пифагора найдем BD:

$$BD^2 + AD^2 = AB^2$$ $$BD^2 = AB^2 - AD^2$$ $$BD^2 = 20^2 - 12^2 = 400 - 144 = 256$$ $$BD = \sqrt{256} = 16 \text{ см}$$

Известно, что $$AB^2 = BD \cdot BC$$ (свойство высоты, проведенной из прямого угла).

$$20^2 = 16 \cdot BC$$ $$400 = 16 \cdot BC$$ $$BC = \frac{400}{16} = 25 \text{ см}$$

Тогда $$DC = BC - BD = 25 - 16 = 9 \text{ см}$$.

Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник ADC. По теореме Пифагора найдем AC:

$$AC^2 = AD^2 + DC^2$$ $$AC^2 = 12^2 + 9^2 = 144 + 81 = 225$$ $$AC = \sqrt{225} = 15 \text{ см}$$

Косинус угла C равен отношению прилежащего катета (AC) к гипотенузе (BC):

$$cos C = \frac{AC}{BC} = \frac{15}{25} = \frac{3}{5} = 0.6$$

Ответ: AC = 15 см, cos C = 0.6