4. В прямоугольном треугольнике ABC ∠C = 90°, биссектриса AK равна 18 см. Расстояние от точки K до прямой AB равно 9 см. Найдите угол AKB.

Пусть $$KD$$ – расстояние от точки $$K$$ до прямой $$AB$$, то есть $$KD = 9$$ см. Так как $$AK$$ – биссектриса угла $$A$$, точка $$K$$ равноудалена от сторон угла $$A$$, то есть $$KD = KC = 9$$ см. Рассмотрим треугольник $$AKC$$. Он прямоугольный, так как $$\angle C = 90°$$. $$\sin \angle KAC = \frac{KC}{AK} = \frac{9}{18} = \frac{1}{2}$$. Следовательно, $$\angle KAC = 30°$$. Так как $$AK$$ – биссектриса угла $$A$$, то $$\angle BAC = 2 \cdot \angle KAC = 2 \cdot 30° = 60°$$. В треугольнике $$ABC$$ угол $$B$$ равен $$90° - 60° = 30°$$. В треугольнике $$AKB$$ угол $$BAK = 30°$$, угол $$ABK = 30°$$, следовательно, угол $$AKB = 180° - 30° - 30° = 120°$$. **Ответ:** 120°