3. В прямоугольном треугольнике ABC катет AC = 65, а высота CH, опущенная на гипотенузу, равна $13\sqrt{21}$. Найдите $sin \angle ABC$.

Обозначим угол ABC как $\beta$. Тогда $sin \beta = \frac{AC}{AB}$. Мы знаем $AC = 65$, но нам нужно найти $AB$. Рассмотрим треугольник ABC. Площадь этого треугольника можно вычислить двумя способами: 1) $S = \frac{1}{2} * AC * BC$ 2) $S = \frac{1}{2} * AB * CH$ Приравняем эти выражения: $\frac{1}{2} * AC * BC = \frac{1}{2} * AB * CH$. Следовательно, $AC * BC = AB * CH$. Из теоремы Пифагора для треугольника ABC: $AB^2 = AC^2 + BC^2 = 65^2 + BC^2$ Выразим $AB$ из уравнения площадей: $AB = \frac{AC * BC}{CH} = \frac{65 * BC}{13\sqrt{21}} = \frac{5 * BC}{\sqrt{21}}$ Подставим это в теорему Пифагора: $(\frac{5 * BC}{\sqrt{21}})^2 = 65^2 + BC^2$ $\frac{25 * BC^2}{21} = 65^2 + BC^2$ $25 * BC^2 = 21 * 65^2 + 21 * BC^2$ $4 * BC^2 = 21 * 65^2$ $BC^2 = \frac{21 * 65^2}{4}$ $BC = \sqrt{\frac{21 * 65^2}{4}} = \frac{65}{2} * \sqrt{21}$ Теперь найдем AB: $AB = \frac{5 * BC}{\sqrt{21}} = \frac{5 * \frac{65}{2} * \sqrt{21}}{\sqrt{21}} = \frac{5 * 65}{2} = \frac{325}{2} = 162.5$ $sin \beta = \frac{AC}{AB} = \frac{65}{162.5} = \frac{65}{\frac{325}{2}} = \frac{65 * 2}{325} = \frac{130}{325} = \frac{2}{5} = 0.4$ **Ответ: 0.4**