В прямоугольном треугольнике ABC катет AC = 24, а высота CH, опущенная на гипотенузу, равна 6√15. Найдите sin ∠ABC.

Пошаговое решение:

1. В прямоугольном треугольнике ABC, CH — высота, опущенная на гипотенузу AB.
2. Рассмотрим прямоугольный треугольник ACH. По теореме Пифагора, \( AH^2 = AC^2 - CH^2 \).
3. Подставляем известные значения: \( AH^2 = 24^2 - (6\sqrt{15})^2 = 576 - (36 \times 15) = 576 - 540 = 36 \).
4. Отсюда, \( AH = \sqrt{36} = 6 \).
5. Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник ABC. У нас есть катет AC = 24 и часть гипотенузы AH = 6.
6. Гипотенуза AB = AH + HB. Однако, чтобы найти sin ∠ABC, нам нужна вся гипотенуза AB.
7. В прямоугольном треугольнике ABC, квадрат катета AC равен произведению гипотенузы AB на проекцию катета AC на гипотенузу, то есть AH. Формула: \( AC^2 = AB \times AH \).
8. Подставляем известные значения: \( 24^2 = AB \times 6 \).
9. \( 576 = AB \times 6 \).
10. \( AB = \frac{576}{6} = 96 \).
11. Теперь мы можем найти синус угла ABC. В прямоугольном треугольнике ABC, \( \sin(\angle ABC) = \frac{AC}{AB} \).
12. \( \sin(\angle ABC) = \frac{24}{96} = \frac{1}{4} \).

Ответ: 1/4