4. В прямоугольном треугольнике АВС С = 90°, ∠B = 60°, биссектриса BF = 8 см. Найдите катет АС.

Решение:

Логика такая: Сначала определим углы треугольника ABC, затем выразим стороны через тригонометрические функции и найдем АС.

1. В прямоугольном треугольнике сумма острых углов равна 90°. Следовательно, угол A равен: \( 90^\circ - 60^\circ = 30^\circ \).
2. Биссектриса BF делит угол B пополам, поэтому \( ∠CBF = ∠ABF = \frac{60^\circ}{2} = 30^\circ \).
3. Рассмотрим треугольник CBF. В нем \( ∠C = 90^\circ \), \( ∠CBF = 30^\circ \), следовательно, \( ∠BFC = 180^\circ - 90^\circ - 30^\circ = 60^\circ \).
4. В треугольнике CBF катет CF лежит против угла в 30°, значит, он равен половине гипотенузы BF. \(CF = \frac{BF}{2} = \frac{8}{2} = 4\) см.
5. Теперь рассмотрим треугольник ABC. В нем \( ∠A = 30^\circ \). Катет CF является частью катета AC. Найдем AC, используя тангенс угла A: \(tg(30^\circ) = \frac{BC}{AC}\)
6. Выразим AC: \(AC = \frac{BC}{tg(30^\circ)}\). Так как \(BC = CF = 4\), а \(tg(30^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{3}\), то \(AC = \frac{4}{\frac{\sqrt{3}}{3}} = \frac{4 \cdot 3}{\sqrt{3}} = \frac{12}{\sqrt{3}} = 4\sqrt{3}\) см.

Ответ: \(4\sqrt{3}\) см.