7. В прямоугольном треугольнике АВС с прямым углом С проведена высота СD. Найдите величину угла А, если DB = 6, а BC = 12.

В прямоугольном треугольнике ABC с прямым углом C проведена высота CD.

Дано:

• ABC - прямоугольный, угол C = 90°
• CD - высота
• DB = 6
• BC = 12

Найти: угол A.

Решение:

1. Рассмотрим треугольник ABC.
2. sin(A) = BC / AB. Необходимо найти AB.
3. Рассмотрим треугольник BCD. Он прямоугольный, угол D = 90°. sin(CBD) = CD / BC.
4. Т.к. DB = 6, BC = 12, то DC = \(\sqrt{BC^2 - DB^2} = \sqrt{12^2 - 6^2} = \sqrt{144 - 36} = \sqrt{108} = 6\sqrt{3}\).
5. Рассмотрим треугольник ADC. \(AD = \sqrt{AC^2 - DC^2}\)
6. \(\frac{DB}{BC} = \frac{BC}{AB}\) следовательно \(AB = \frac{BC^2}{DB} = \frac{12^2}{6} = \frac{144}{6} = 24\)
7. \(sin(A) = \frac{BC}{AB} = \frac{12}{24} = \frac{1}{2}\)
8. Угол A = arcsin(1/2) = 30°

Ответ: 30