6. В прямоугольном треугольнике АВС угол C = 90°. Высота CD = 24 см. Найдите катет АС, если BD = 18 см.

Пусть \(CB = x\), тогда по теореме Пифагора для треугольника \(\triangle CDB\):

\[CB^2 = CD^2 + BD^2\]

\[x^2 = 24^2 + 18^2 = 576 + 324 = 900\]

\[x = \sqrt{900} = 30\]

Итак, \(CB = 30\) см.

Обозначим \(AD = y\). Высота \(CD\) делит прямоугольный треугольник \(\triangle ABC\) на два подобных треугольника: \(\triangle ACD \sim \triangle CDB\). Отсюда следует пропорция:

\[\frac{CD}{AD} = \frac{BD}{CD}\]

\[\frac{24}{y} = \frac{18}{24}\]

\[y = \frac{24 \cdot 24}{18} = \frac{576}{18} = 32\]

Итак, \(AD = 32\) см.

Теперь, зная \(AD\) и \(CD\), можно найти \(AC\) по теореме Пифагора для треугольника \(\triangle ACD\):

\[AC^2 = AD^2 + CD^2\]

\[AC^2 = 32^2 + 24^2 = 1024 + 576 = 1600\]

\[AC = \sqrt{1600} = 40\]

Следовательно, \(AC = 40\) см.