В прямоугольном треугольнике АВС угол C равен 90° угол В равен 60°, а биссектриса BF равна 8 см. Найти катет АС.

В прямоугольном треугольнике ABC, ∠C = 90°, ∠B = 60°, BF - биссектриса, BF = 8 см. Нужно найти AC.

Так как BF - биссектриса угла B, то ∠CBF = ∠ABF = ∠B / 2 = 60° / 2 = 30°.

Рассмотрим треугольник BFC. Он прямоугольный (∠C = 90°). В этом треугольнике BF - гипотенуза, а BC - прилежащий катет к углу ∠CBF.

Можно выразить BC через косинус угла CBF: $$BC = BF \cdot cos(∠CBF)$$

$$BC = 8 \cdot cos(30°) = 8 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 4\sqrt{3}$$

Теперь рассмотрим треугольник ABC. В нём ∠B = 60°, ∠C = 90°. Надо найти AC. AC - противолежащий катет к углу B.

$$tan(∠B) = \frac{AC}{BC}$$

$$AC = BC \cdot tan(∠B)$$

$$AC = 4\sqrt{3} \cdot tan(60°) = 4\sqrt{3} \cdot \sqrt{3} = 4 \cdot 3 = 12$$

Ответ: 12 см