3. В прямоугольном треугольнике АВС (угол В — прямой) катет АВ равен 32см, угол А равен 60*. Найдите АС.

В прямоугольном треугольнике ABC (угол B прямой) катет AB равен 32 см, угол A равен $$60^{\circ}$$. Нужно найти гипотенузу АС.

Котангенс угла A равен отношению прилежащего катета AB к противолежащему катету BC.

$$\cot{A} = \frac{AB}{BC}$$

$$\cot{60^{\circ}} = \frac{AB}{BC}$$

$$\frac{\sqrt{3}}{3} = \frac{32}{BC}$$

$$BC = \frac{32 \cdot 3}{\sqrt{3}} = \frac{32 \cdot 3 \cdot \sqrt{3}}{3} = 32\sqrt{3}$$

По теореме Пифагора: $$AC^2=AB^2 + BC^2$$

$$AC^2 = (32)^2 + (32\sqrt{3})^2$$

$$AC^2 = 32^2 + 32^2 \cdot 3 = 32^2(1+3) = 32^2 \cdot 4$$

$$AC = \sqrt{32^2 \cdot 4} = 32 \cdot 2 = 64 \text{ см}$$

Ответ: 64 см