1. В прямоугольном треугольнике АВС высота BD рав- на 24 см и отсекает от гипотенузы АС отрезок DC, равный 18 см. Найдите АВ и cos A.

Ответ: \( AB = 30 \) см, \( cos A = 0.8 \)

1. Рассмотрим прямоугольный треугольник BDC. По теореме Пифагора найдем сторону BC: \[BC = \sqrt{BD^2 + DC^2} = \sqrt{24^2 + 18^2} = \sqrt{576 + 324} = \sqrt{900} = 30 \text{ см}\]
2. Пусть \( AD = x \). Рассмотрим прямоугольный треугольник ABD. По теореме Пифагора: \[AB^2 = BD^2 + AD^2 \Rightarrow AB^2 = 24^2 + x^2\] Также рассмотрим прямоугольный треугольник ABC. По теореме Пифагора: \[AC^2 = AB^2 + BC^2 \Rightarrow (x + 18)^2 = AB^2 + 30^2\] Подставим первое уравнение во второе: \[(x + 18)^2 = (24^2 + x^2) + 30^2 \Rightarrow x^2 + 36x + 324 = 576 + x^2 + 900 \Rightarrow 36x = 1152 \Rightarrow x = 32 \text{ см}\]
3. Теперь найдем гипотенузу AB: \[AB = \sqrt{BD^2 + AD^2} = \sqrt{24^2 + 32^2} = \sqrt{576 + 1024} = \sqrt{1600} = 40 \text{ см}\]
4. Найдем \( cos A \): \[cos A = \frac{AD}{AB} = \frac{32}{40} = 0.8\]

Ответ: \( AB = 40 \) см, \( cos A = 0.8 \)