3. В прямоугольной трапеции один из углов равен 135°, , средняя линия равна 18 см, а основания относятся как 1 : 8. Найдите основания трапеции и её площадь.

Ответ: Основания трапеции: 4 см и 32 см, площадь трапеции: 648 \(см^2\)

1. Обозначим меньшее основание трапеции как \(x\), тогда большее основание будет \(8x\). Средняя линия трапеции равна полусумме оснований: \[\frac{x + 8x}{2} = 18\]
2. Решаем уравнение: \[\frac{9x}{2} = 18 \Rightarrow 9x = 36 \Rightarrow x = 4 \text{ см}\]
3. Тогда меньшее основание равно 4 см, а большее основание равно \(8 \cdot 4 = 32 \text{ см}\).
4. Один из углов трапеции равен 135°. В прямоугольной трапеции один угол прямой, значит, второй угол равен 135°. Угол между высотой трапеции и боковой стороной, прилежащей к углу 135°, равен \(180° - 135° = 45°\). Следовательно, образовавшийся прямоугольный треугольник является равнобедренным, и высота трапеции равна разности оснований.
5. Высота трапеции равна: \[h = 32 - 4 = 28 \text{ см}\] Но это не верно, так как угол равен 45 градусам. Тангенс этого угла равен 1. То есть катет равен катету. А разность оснований это катет.
6. Площадь трапеции равна: \[S = \frac{(a + b)}{2} \cdot h = \frac{(4 + 32)}{2} \cdot 28 = \frac{36}{2} \cdot 28 = 18 \cdot 28 = 504 \text{ см}^2\] В таком случае, если высота = разность оснований, то высота равна 32-4 = 28. Тогда площадь равна полусумме оснований умноженной на высоту. Полусумма оснований равна средней линии, то есть 18. Тогда площадь = 18*28 = 504. Но это не так. Так как у нас не просто трапеция, а прямоугольная трапеция. То есть прямой угол между основанием и боковой стороной. А это означает, что есть два варианта. Первый - это когда боковая сторона, которая является высотой трапеции находится слева, и тогда справа угол равен 135 градусов. И второй вариант, когда высота находится справа и угол 135 находится слева. Во втором случае разность оснований и есть высота, а это значит, что 32-4=28 и средняя линия 18. Тогда площадь будет 18*28 = 504. В первом случае все иначе. Проводим высоту из верхнего угла трапеции. Тогда у нас получается прямоугольник и прямоугольный треугольник. Получается прямоугольник со сторонами 4 и х (то есть искомой высотой). А в треугольнике, катет равен разности оснований, то есть 32-4=28. И у нас угол 135, а другой угол 45. Тогда второй катет тоже равен 28, так как тангенс 45 = 1. Тогда получается, что высота равна 28. И площадь равна 18*28 = 504. И тогда получается, что в обоих случаях площадь одна и та же.

Ответ: Основания трапеции: 4 см и 32 см, площадь трапеции: 504 \(см^2\)