12. В прямоугольном треугольнике гипотенуза равна 82, а один из острых углов равен 45°. Найдите площадь треугольника.

Ответ: 1681

1. В прямоугольном треугольнике с острым углом 45° второй острый угол тоже равен 45°, значит, это равнобедренный прямоугольный треугольник.
2. В равнобедренном прямоугольном треугольнике катеты равны. Обозначим катет как a.
3. По теореме Пифагора: \[a^2 + a^2 = 82^2\] \[2a^2 = 6724\] \[a^2 = 3362\] \[a = \sqrt{3362}\]
4. Площадь прямоугольного треугольника: \[S = \frac{1}{2} a^2 = \frac{1}{2} \cdot 3362 = 1681\]

Ответ: 1681