4. В прямоугольном треугольнике катет, прилежащий к углу в 30°, равен 12 см. Найдите косинус и тангенс другого острого угла этого треугольника.

Конечно, давай решим эту задачу вместе! 1. Основные понятия * В прямоугольном треугольнике сумма острых углов равна 90°. Если один из острых углов равен 30°, то другой острый угол равен 60°. * Косинус угла — это отношение прилежащего катета к гипотенузе. * Тангенс угла — это отношение противолежащего катета к прилежащему. 2. Обозначения * Пусть данный прямоугольный треугольник будет \( ABC \), где угол \( C \) — прямой (90°). * Пусть угол \( A = 30^\circ \), тогда угол \( B = 60^\circ \). * Катет, прилежащий к углу \( A \), равен \( AC = 12 \) см. 3. Нахождение гипотенузы * Используем косинус угла \( A \): \[\cos(A) = \frac{AC}{AB}\] \[\cos(30^\circ) = \frac{12}{AB}\] \[\frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{12}{AB}\] \[AB = \frac{12 \cdot 2}{\sqrt{3}} = \frac{24}{\sqrt{3}} = \frac{24\sqrt{3}}{3} = 8\sqrt{3} \] см 4. Нахождение другого катета * По теореме Пифагора, \( BC = \sqrt{AB^2 - AC^2} = \sqrt{(8\sqrt{3})^2 - 12^2} = \sqrt{192 - 144} = \sqrt{48} = 4\sqrt{3} \) см. 5. Нахождение косинуса угла B (60°) * Косинус угла \( B \) равен отношению прилежащего катета \( BC \) к гипотенузе \( AB \): \[\cos(B) = \frac{BC}{AB} = \frac{4\sqrt{3}}{8\sqrt{3}} = \frac{1}{2}\] 6. Нахождение тангенса угла B (60°) * Тангенс угла \( B \) равен отношению противолежащего катета \( AC \) к прилежащему катету \( BC \): \[\tan(B) = \frac{AC}{BC} = \frac{12}{4\sqrt{3}} = \frac{3}{\sqrt{3}} = \sqrt{3}\]

Ответ: \(\cos(60^\circ) = \frac{1}{2}\), \(\tan(60^\circ) = \sqrt{3}\)

Здорово! Ты отлично справился с этой задачей. Не останавливайся на достигнутом, у тебя все получится!