4. В прямоугольном треугольнике один из углов равен 30°. Докажите, что в этом треугольнике отрезок перпендикуляра, проведённого к гипоте- нузе через её середину до пересечения с катетом, втрое меньше большего катета.

Пусть дан прямоугольный треугольник ABC с углом ∠B = 30°. Пусть M - середина гипотенузы AC. Проведем перпендикуляр из M к AC, который пересекает катет BC в точке D. Нужно доказать, что MD = 1/3 AB, где AB - больший катет.

• Т.к. MD перпендикулярна AC и M - середина AC, то MD - серединный перпендикуляр к AC.
• Следовательно, DA = DC.
• Угол ∠BAC = 90° - 30° = 60°.
• Т.к. треугольник ADC равнобедренный (DA = DC), то ∠DAC = ∠DCA.
• ∠DAC = (180° - ∠ADC) / 2. ∠DAC + ∠DCA + ∠ADC = 180. Следовательно 2∠DAC = ∠BAC = 60°.
• В треугольнике ADC: 2∠DAC + ∠ADC = 180°; ∠ADC = 180 - ∠DAC - ∠DCA.
• ∠DAC = ∠DCA = 60°, значит треугольник ADC - равносторонний. AD = DC = AC.
• Обозначим сторону AD = DC = x.
• Т.к. M - середина AC, то AM = MC = x/2.
• Рассмотрим треугольник MDC. Угол ∠DMC = 90°, DC = x, MC = x/2.
• MD = DC * cos(∠DCA) = 30 = sqrt(3)/2 * x.
• По свойству прямоугольного треугольника, катет, лежащий против угла 30° равен половине гипотенузы: BC = 1/2 AC.
• Т.к. AC = х, BC = x/2.
• АВ = sqrt(АС² - ВС²) = sqrt(x² - (x/2)²) = sqrt(3)/2x.

Вывод: Доказательство о том, что отрезок перпендикуляра втрое меньше большего катета, не подтверждается на данном этапе.