В прямоугольном треугольнике угол между высотой и биссектрисой, проведёнными из вершины прямого угла, равен 16°. Найдите меньший из двух острых углов треугольника. Ответ дайте в градусах.

1) Обозначим острые углы прямоугольного треугольника как \(\alpha\) и \(\beta\). Так как это прямоугольный треугольник, то \(\alpha + \beta = 90°\). 2) Высота, проведенная из прямого угла, образует два новых прямоугольных треугольника. Обозначим угол между высотой и гипотенузой, прилежащий к углу \(\alpha\) как \(\alpha_1\), и второй угол (прилежащий к углу \(\beta\) ) как \(\beta_1\). Заметим, что \(\alpha_1 = \alpha\) и \(\beta_1 = \beta\). 3) Биссектриса делит прямой угол на два угла по 45°. Обозначим угол между биссектрисой и высотой как 16° по условию задачи. 4) Рассмотрим угол между биссектрисой и катетом, прилежащим к углу \(\alpha\). Обозначим его как \(x\). Угол между высотой и этим же катетом равен \(90° - \alpha\). Угол между биссектрисой и катетом, прилежащим к углу \(\alpha\), равен 45°. Так как угол между биссектрисой и высотой равен 16°, то \( x = 45° - (90° - \alpha) = \alpha - 45°\). Или \(x = 45° - 16° - \alpha_1 = 29° - \alpha\). Также с другой стороны от высоты угол между высотой и катетом прилежащим к углу \(\beta\) равен \(90° - \beta\). Аналогично угол между биссектрисой и катетом прилежащим к углу \(\beta\) равен \( y = 45° - (90° - \beta) = \beta - 45°\). Или \(y = 45° + 16° - \beta_1 = 61° - \beta\). 5) Мы знаем, что угол между биссектрисой и высотой равен 16°, то есть \(|\alpha - 45 - (\beta-45)|= |\alpha-\beta|=16\) или \(| (45 - (90 - \alpha)) - (45 - (90 - \beta) |=16\). Разница между острыми углами равна 16. 6) Имеем систему из двух уравнений: \begin{cases} \alpha + \beta = 90 \\ \alpha - \beta = 16 \end{cases} 7) Решим систему. Сложив оба уравнения, получим \(2\alpha = 106\), отсюда \(\alpha = 53\). Вычтем уравнения \(2\beta=74\) откуда \(\beta=37\). Меньший угол равен 37 градусам. **Ответ:** 37