4.В прямоугольной трапеции ABCD (BC = AD, < A = 90), AB = 4 см, ВС = 7 см, AD= 9 см. Найдите синус, косинус, тангенс и котангенс угла D трапеции.

Ответ: \(\sin D = \frac{2}{\sqrt{5}} = \frac{2\sqrt{5}}{5}\), \(\cos D = \frac{1}{\sqrt{5}} = \frac{\sqrt{5}}{5}\), \(\tan D = 2\), \(\operatorname{ctg} D = \frac{1}{2}\)

Решение:

• Шаг 1: Проведем высоту CE из вершины C к основанию AD. Тогда AE = AD - BC = 9 - 7 = 2 см.
• Шаг 2: Рассмотрим прямоугольный треугольник CED. По теореме Пифагора, CD = \(\sqrt{CE^2 + ED^2} = \sqrt{4^2 + 2^2} = \sqrt{16 + 4} = \sqrt{20} = 2\sqrt{5}\).
• Шаг 3: Найдем синус, косинус, тангенс и котангенс угла D:

\[\sin D = \frac{CE}{CD} = \frac{4}{2\sqrt{5}} = \frac{2}{\sqrt{5}} = \frac{2\sqrt{5}}{5}\]\[\cos D = \frac{ED}{CD} = \frac{2}{2\sqrt{5}} = \frac{1}{\sqrt{5}} = \frac{\sqrt{5}}{5}\]\[\tan D = \frac{CE}{ED} = \frac{4}{2} = 2\]\[\operatorname{ctg} D = \frac{ED}{CE} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}\]

Ответ: \(\sin D = \frac{2}{\sqrt{5}} = \frac{2\sqrt{5}}{5}\), \(\cos D = \frac{1}{\sqrt{5}} = \frac{\sqrt{5}}{5}\), \(\tan D = 2\), \(\operatorname{ctg} D = \frac{1}{2}\)