В прямоугольной трапеции $ABCD$ с основаниями $AD$ и $BC$ диагональ $AC$ является биссектрисой угла $A$, величина которого равна $45^\circ$. Найдите длину диагонали $BD$, если меньшее основание трапеции равно $\frac{9\sqrt{2}}{2}$.

Пусть дана прямоугольная трапеция $ABCD$, где $AD$ и $BC$ - основания, причем $BC < AD$. $AC$ - биссектриса угла $A$, и угол $A = 45^\circ$. Значит, $\angle BAC = \angle CAD = \frac{45^\circ}{2} = 22.5^\circ$. Так как $ABCD$ - прямоугольная трапеция, то $\angle B = \angle C = 90^\circ$. Рассмотрим треугольник $ABC$. Известно, что $\angle B = 90^\circ$ и $\angle BAC = 22.5^\circ$. Тогда $\angle BCA = 180^\circ - 90^\circ - 22.5^\circ = 67.5^\circ$. По условию, $BC = \frac{9\sqrt{2}}{2}$. Проведем высоту $CH$ к основанию $AD$. Тогда $ABCH$ - прямоугольник, и $AH = BC = \frac{9\sqrt{2}}{2}$. Так как $\angle CAD = 22.5^\circ$ и $\angle ACD = 90^\circ - 22.5^\circ = 67.5^\circ$, то $\angle CDA = 90^\circ - \angle CAD = 90^\circ - 22.5^\circ = 67.5^\circ$. Рассмотрим треугольник $ACD$. $\angle CAD = 22.5^\circ$, $\angle ACD = 67.5^\circ$, $\angle ADC = 90^\circ$. Значит, этот треугольник прямоугольный. $\angle DAC = \angle BCA$. Это означает, что треугольник $ABC$ подобен треугольнику $CDA$, но у нас трапеция прямоугольная и $AD$ не параллельна $CD$. Из условия $\angle BAC = \angle CAD = 45^\circ / 2 = 22.5^\circ$ и $\angle BCA = 90^\circ - 22.5^\circ = 67.5^\circ$. Также $\angle CAD = 22.5^\circ$. Значит $\angle CDA = 90^\circ$. Следовательно, $\angle ACD = 67.5^\circ$. В прямоугольном треугольнике $ABC$: $\angle BAC = 22.5^\circ$, $BC = \frac{9\sqrt{2}}{2}$. Тогда $AC = \frac{BC}{\sin(\angle BAC)} = \frac{\frac{9\sqrt{2}}{2}}{\sin(22.5^\circ)} = \frac{\frac{9\sqrt{2}}{2}}{\sqrt{\frac{1-\cos(45^\circ)}{2}}} = \frac{\frac{9\sqrt{2}}{2}}{\sqrt{\frac{1-\frac{\sqrt{2}}{2}}{2}}} = \frac{\frac{9\sqrt{2}}{2}}{\sqrt{\frac{2-\sqrt{2}}{4}}} = \frac{\frac{9\sqrt{2}}{2}}{\frac{\sqrt{2-\sqrt{2}}}{2}} = \frac{9\sqrt{2}}{\sqrt{2-\sqrt{2}}}$ В прямоугольном треугольнике $ACD$: $\angle CAD = 22.5^\circ$. Тогда $AD = AC \cdot \cos(22.5^\circ) = AC \cdot \sqrt{\frac{1+\cos(45^\circ)}{2}} = \frac{9\sqrt{2}}{\sqrt{2-\sqrt{2}}} \cdot \sqrt{\frac{1+\frac{\sqrt{2}}{2}}{2}} = \frac{9\sqrt{2}}{\sqrt{2-\sqrt{2}}} \cdot \sqrt{\frac{2+\sqrt{2}}{4}} = \frac{9\sqrt{2}}{\sqrt{2-\sqrt{2}}} \cdot \frac{\sqrt{2+\sqrt{2}}}{2}$ $CD = AC \cdot \sin(22.5^\circ) = AC \cdot \sqrt{\frac{1-\cos(45^\circ)}{2}} = \frac{9\sqrt{2}}{\sqrt{2-\sqrt{2}}} \cdot \frac{\sqrt{2-\sqrt{2}}}{2} = \frac{9\sqrt{2}}{2}$ Рассмотрим прямоугольный треугольник $BCD$: $BD = \sqrt{BC^2 + CD^2} = \sqrt{(\frac{9\sqrt{2}}{2})^2 + (\frac{9\sqrt{2}}{2})^2} = \sqrt{2 \cdot \frac{81 \cdot 2}{4}} = \sqrt{\frac{324}{4}} = \sqrt{81} = 9$ Ответ: 9