В прямоугольной трапеции ABCD с основаниями AD и BC диагональ BD равна 32, а угол A равен 45°. Найдите большую боковую сторону, если меньшее основание трапеции равно $$8\sqrt{15}$$.

Пусть дана прямоугольная трапеция ABCD, где AD и BC - основания, угол A = 45°, BD = 32, BC = $$8\sqrt{15}$$. Необходимо найти большую боковую сторону, то есть CD. 1. Проведем высоту BH к основанию AD. Тогда ABH - прямоугольный треугольник с углом A = 45°, следовательно, угол ABH = 45°, и треугольник ABH является равнобедренным, то есть AH = BH. 2. Рассмотрим прямоугольный треугольник ABD. Так как угол A = 45°, то AB = AH * $$\sqrt{2}$$. 3. Из прямоугольного треугольника ABH: $$AB = \frac{BH}{\sin{45^{\circ}}} = BH\sqrt{2}$$. 4. Рассмотрим прямоугольный треугольник BHD. По теореме Пифагора: $$BD^2 = BH^2 + HD^2$$. Следовательно, $$32^2 = BH^2 + HD^2$$. 5. Так как AD = AH + HD, а BC = $$8\sqrt{15}$$, то HD = AD - AH = AD - BH. 6. Подставим HD в уравнение из теоремы Пифагора: $$32^2 = BH^2 + (AD - BH)^2$$. 7. Так как ABCD - трапеция, то $$AD = BC + HD$$, а AH = BH. Следовательно, HD = AD - BH. Тогда $$CD = \sqrt{HD^2 + (AB)^2}$$ (из треугольника BCD) 8. BH = AB/$$\sqrt{2}$$. Из треугольника ABD: $$AD = \sqrt{BD^2 - AB^2 + 2* AB*BH }$$. 9. Выразим AD через теорему синусов, зная угол A= 45: AD/sin45 = BD/sin90 , AD = BD * Sin45 = 32*$$\sqrt{2}$$/2 = 16$$\sqrt{2}$$. 10. HD = AD - AH = 16$$\sqrt{2}$$ - AB/$$\sqrt{2}$$ , Подставляем в уравнение (4) : $$32^2 = BH^2 + (16\sqrt{2} - BH)^2$$ => $$1024 = BH^2 + 512 - 32\sqrt{2}BH + BH^2$$ => 2BH^2 - 32$$\sqrt{2}$$BH - 512 = 0. Разделим на 2: $$BH^2 - 16\sqrt{2}BH - 256 = 0$$. 11. Решаем квадратное уравнение относительно BH: BH = $$\frac{16\sqrt{2} \pm \sqrt{(16\sqrt{2})^2 - 4*1*(-256)}}{2}$$ = $$\frac{16\sqrt{2} \pm \sqrt{512 + 1024}}{2}$$ = $$\frac{16\sqrt{2} \pm \sqrt{1536}}{2}$$ = $$\frac{16\sqrt{2} \pm 16\sqrt{6}}{2}$$ = $$8\sqrt{2} \pm 8\sqrt{6}$$. Т.к BH > 0, то BH = 8$$\sqrt{2}$$ + 8$$\sqrt{6}$$. $$CD = \sqrt{ (AD - BC)^2 + BH^2} = \sqrt{ (16\sqrt{2} - 8\sqrt{15})^2 + (8\sqrt{2} + 8\sqrt{6})^2 }$$. К сожалению, без калькулятора дальше точно посчитать сложно. Задумка решения должна быть такой.