4.В прямоугольной трапеции меньшая боковая сторона 12 см, а большая составляет с большим основанием угол 45°. Найдите основание трапеции, если ее средняя линия равна 20 см.

Обозначим меньшее основание трапеции как $$b$$, большее основание как $$a$$, а меньшую боковую сторону (высоту) как $$h = 12$$ см. Угол между большей боковой стороной и большим основанием равен 45°. Средняя линия трапеции равна 20 см.

Средняя линия трапеции вычисляется как:

$$m = \frac{a + b}{2}$$

Поскольку $$m = 20$$ см, то:

$$\frac{a + b}{2} = 20$$

$$a + b = 40$$

Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный большей боковой стороной, высотой и разностью оснований. Так как угол равен 45°, то этот треугольник равнобедренный, и разность оснований равна высоте:

$$a - b = h = 12$$

Теперь у нас есть система уравнений:

$$\begin{cases} a + b = 40 \\ a - b = 12 \end{cases}$$

Сложим эти два уравнения:

$$2a = 52$$

$$a = 26$$

Теперь найдем $$b$$:

$$b = 40 - a = 40 - 26 = 14$$

Ответ: Большее основание равно 26 см, меньшее основание равно 14 см.