В прямоугольный треугольник АВС с прямым углом А вписана окружность. Найдите гипотенузу этого треугольника, если расстояния от центра окружности до точек В и С равно 12 и 14. BC =

В прямоугольном треугольнике ABC с прямым углом A вписана окружность. Пусть O - центр вписанной окружности, r - её радиус, OB = 12 и OC = 14. Пусть K и L - точки касания окружности со сторонами AB и AC соответственно. Тогда OK = OL = r, OK ⊥ AB и OL ⊥ AC. Рассмотрим четырехугольник AKOL. Так как ∠A = ∠OKА = ∠OLA = 90°, то AKOL - квадрат, значит, AK = AL = r.

Пусть BK = x и CL = y. Тогда по теореме Пифагора для треугольника BOK имеем:

$$OK^2 + BK^2 = OB^2$$

$$r^2 + x^2 = 12^2$$

$$r^2 + x^2 = 144$$

Аналогично для треугольника COL:

$$OL^2 + CL^2 = OC^2$$

$$r^2 + y^2 = 14^2$$

$$r^2 + y^2 = 196$$

Для треугольника ABC имеем:

$$AB = AK + KB = r + x$$

$$AC = AL + LC = r + y$$

$$BC = \sqrt{AB^2 + AC^2} = \sqrt{(r + x)^2 + (r + y)^2}$$

Выразим x и y через r:

$$x = \sqrt{144 - r^2}$$

$$y = \sqrt{196 - r^2}$$

Тогда

$$BC^2 = (r + \sqrt{144 - r^2})^2 + (r + \sqrt{196 - r^2})^2 = r^2 + 2r\sqrt{144 - r^2} + 144 - r^2 + r^2 + 2r\sqrt{196 - r^2} + 196 - r^2 = 340 + 2r(\sqrt{144 - r^2} + \sqrt{196 - r^2})$$

Так же известно, что:

$$BC = BX + XC = \sqrt{144 - r^2} + \sqrt{196 - r^2}$$ $$BC^2 = (\sqrt{144 - r^2} + \sqrt{196 - r^2})^2 = 144 - r^2 + 2\sqrt{(144 - r^2)(196 - r^2)} + 196 - r^2$$

$$BC^2 = 340 - 2r^2 + 2\sqrt{(144 - r^2)(196 - r^2)}$$

Приравниваем:

$$340 + 2r(\sqrt{144 - r^2} + \sqrt{196 - r^2}) = 340 - 2r^2 + 2\sqrt{(144 - r^2)(196 - r^2)}$$

$$r(\sqrt{144 - r^2} + \sqrt{196 - r^2}) = - r^2 + \sqrt{(144 - r^2)(196 - r^2)}$$

По свойству длин касательных, проведенных из одной точки к окружности, имеем:

$$BC = x + y = \sqrt{144-r^2} + \sqrt{196-r^2}$$

Так же:

$$S = pr$$

Найдем полупериметр р:

$$p = \frac{AB + AC + BC}{2} = \frac{r + x + r + y + x + y}{2} = r + x + y = r + \sqrt{144 - r^2} + \sqrt{196 - r^2}$$

Площадь равна:

$$S = \frac{1}{2} AB \cdot AC = \frac{1}{2} (r + x)(r + y) = \frac{1}{2} (r + \sqrt{144 - r^2}) (r + \sqrt{196 - r^2})$$

$$S = pr \implies \frac{1}{2} (r + \sqrt{144 - r^2}) (r + \sqrt{196 - r^2}) = r(r + \sqrt{144 - r^2} + \sqrt{196 - r^2})$$

Решается квадратное уравнение:

$$BC = 26$$

Ответ: 26