В трапеции АВCD: • основание ВС = 7, • боковая сторона CD = 8, ∠BAD = 45° и ∠BCD = 105°. Найдите среднюю линию трапеции.

В трапеции ABCD дано: BC = 7, CD = 8, ∠BAD = 45°, ∠BCD = 105°. Необходимо найти среднюю линию трапеции.

1) Проведем высоту CH к основанию AD. Рассмотрим треугольник CHD. ∠CDH = 180° - ∠ADC. ∠ADC = 360° - ∠BAD - ∠BCD - ∠ABC. Так как BC || AD, то ∠ABC + ∠BAD = 180°. ∠ABC = 180° - 45° = 135°.

∠ADC = 360° - 45° - 105° - 135° = 75°

Следовательно ∠CDH = 180° - 75° = 105°.

2) В треугольнике CHD, ∠CHD = 90°. ∠DCH = 180° - ∠CDH - ∠CHD = 180° - 75° - 90° = 15°

3) Проведем CK || AB, тогда BCKA - параллелограмм, значит AK = BC = 7 и CK = AB. Рассмотрим треугольник CDK. ∠BCK = ∠BAK = 45°. ∠DCK = ∠BCD - ∠BCK = 105° - 45° = 60°.

4) ∠CDK = ∠CDA = 75°

∠CKD = 180° - ∠CDK - ∠DCK = 180° - 75° - 60° = 45°

По теореме синусов:

$$\frac{CD}{\sin ∠CKD} = \frac{CK}{\sin ∠CDK} = \frac{DK}{\sin ∠DCK}$$

$$\frac{8}{\sin 45°} = \frac{CK}{\sin 75°} = \frac{DK}{\sin 60°}$$

$$\frac{8}{\frac{\sqrt{2}}{2}} = \frac{CK}{\sin 75°} = \frac{DK}{\frac{\sqrt{3}}{2}}$$

Выразим DK:

$$DK = \frac{8 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}}{\frac{\sqrt{2}}{2}} = \frac{8\sqrt{3}}{\sqrt{2}} = 4\sqrt{6}$$

AD = AK + KD = 7 + 4 \sqrt{6}

Средняя линия трапеции равна:

$$m = \frac{BC + AD}{2} = \frac{7 + 7 + 4\sqrt{6}}{2} = \frac{14 + 4\sqrt{6}}{2} = 7 + 2\sqrt{6}$$

Ответ: $$7 + 2\sqrt{6}$$