3. В равнобедренном треугольнике ∆ АВС с основанием АС проведена биссектриса СК. Найдите углы ∆ АВС, если ∠АКС = 60°.

Решение:

Т.к. треугольник ABC равнобедренный, то углы при основании AC равны, то есть ∠BAC = ∠BCA.

CK - биссектриса, значит, ∠ACK = ∠BCA / 2.

Рассмотрим треугольник AKC. Сумма углов в треугольнике равна 180°, поэтому:

∠KAC + ∠ACK + ∠AKC = 180°

∠BAC + ∠BCA / 2 + 60° = 180°

Пусть ∠BAC = x, тогда ∠BCA = x, ∠ACK = x / 2.

x + x / 2 + 60° = 180°

3x / 2 = 120°

x = 80°

Следовательно, ∠BAC = ∠BCA = 80°.

∠ABC = 180° - ∠BAC - ∠BCA = 180° - 80° - 80° = 20°.

Ответ: ∠BAC = 80°, ∠BCA = 80°, ∠ABC = 20°.