4. В треугольнике ∆АВС ∠B = 90°, ∠C = 60°, BC = 2 см. На стороне АС отмечена точка D так, что ∠ABD =30°. а) найдите длину отрезка AD. б) докажите, что периметр ∆ АВС < 10 см

a) Решение:

В треугольнике ABC ∠A = 180° - ∠B - ∠C = 180° - 90° - 60° = 30°.

Рассмотрим треугольник ABD. В нем ∠A = 30°, ∠ABD = 30°, следовательно, треугольник ABD - равнобедренный, и AD = BD.

В прямоугольном треугольнике BCD ∠DBC = ∠ABC - ∠ABD = 90° - 30° = 60°.

Тогда треугольник BCD - прямоугольный с углом ∠DBC = 60°, значит, ∠BDC = 30°.

В прямоугольном треугольнике против угла в 30° лежит катет, равный половине гипотенузы. Следовательно, BC = BD / 2.

BD = 2 × BC = 2 × 2 = 4 см.

AD = BD = 4 см.

Ответ: AD = 4 см.

б) Доказательство:

В треугольнике ABC tg(∠C) = AB / BC.

AB = BC × tg(∠C) = 2 × tg(60°) = 2 × $$ \sqrt{3} $$.

По теореме Пифагора AC = $$ \sqrt{AB^2 + BC^2} $$ = $$ \sqrt{(2\sqrt{3})^2 + 2^2} $$ = $$ \sqrt{12 + 4} $$ = $$ \sqrt{16} $$ = 4 см.

Периметр треугольника ABC равен P = AB + BC + AC = 2$$ \sqrt{3} $$ + 2 + 4 = 6 + 2$$ \sqrt{3} $$.

Необходимо доказать, что 6 + 2$$ \sqrt{3} $$ < 10.

2$$ \sqrt{3} $$ < 4

$$ \sqrt{3} $$ < 2

Т.к. $$ \sqrt{3} $$ ≈ 1.73, то 1.73 < 2, что является верным.

Следовательно, периметр треугольника ABC меньше 10 см.