19.7*. 1) В равнобедренном треугольнике ABC (AB = BC) угол при основании равен 75°, AM — биссектриса треугольника, BM = 10 см. Найдите расстояние от точки M до основания треугольника AC.

Пусть дан равнобедренный треугольник $$ABC$$, где $$AB = BC$$, $$\angle BAC = \angle BCA = 75^\circ$$. $$AM$$ - биссектриса угла $$\angle BAC$$, и $$BM = 10$$ см. Нужно найти расстояние от точки $$M$$ до основания $$AC$$. Так как $$\angle BAC = 75^\circ$$, а $$AM$$ - биссектриса, то $$\angle MAC = \frac{1}{2} \cdot 75^\circ = 37.5^\circ$$. $$\angle ABC = 180^\circ - (75^\circ + 75^\circ) = 180^\circ - 150^\circ = 30^\circ$$. Рассмотрим треугольник $$ABM$$. В нём $$\angle BAM = 37.5^\circ$$, $$\angle ABM = 30^\circ$$. Тогда $$\angle AMB = 180^\circ - (37.5^\circ + 30^\circ) = 180^\circ - 67.5^\circ = 112.5^\circ$$. Пусть $$MD$$ - перпендикуляр к $$AC$$, тогда $$MD$$ - расстояние от точки $$M$$ до $$AC$$. Рассмотрим треугольник $$AMD$$. В нём $$\angle MAD = 37.5^\circ$$, $$\angle MDA = 90^\circ$$, тогда $$\angle AMD = 180^\circ - (90^\circ + 37.5^\circ) = 52.5^\circ$$. По теореме синусов для треугольника $$ABM$$: $$\frac{BM}{\sin(\angle BAM)} = \frac{AM}{\sin(\angle ABM)}$$, то есть $$\frac{10}{\sin(37.5^\circ)} = \frac{AM}{\sin(30^\circ)}$$. Отсюда $$AM = \frac{10 \cdot \sin(30^\circ)}{\sin(37.5^\circ)} = \frac{10 \cdot 0.5}{\sin(37.5^\circ)} = \frac{5}{\sin(37.5^\circ)}$$. В треугольнике $$AMD$$: $$\sin(\angle MAD) = \frac{MD}{AM}$$, то есть $$MD = AM \cdot \sin(\angle MAD) = \frac{5}{\sin(37.5^\circ)} \cdot \sin(37.5^\circ) = 5$$. **Ответ: 5 см**