В равнобедренном треугольнике ABC AB=АС, ВН - высота, BN-биссектриса угла АВС, угол HBN равен 12°. Найдите угол ВАС (если угол ВАС<90°).

Шаг 1: Найдем угол HBN.

Т.к. ВН - высота, то \(\angle BHA = 90^\circ\).

Т.к. BN - биссектриса угла ABC, то \(\angle ABN = \angle CBN\).

Пусть \(\angle BAC = x\), тогда углы при основании AB и BC равны \(\frac{180 - x}{2} = 90 - \frac{x}{2}\).

Тогда угол CBN равен половине этого угла, то есть \(\angle CBN = \frac{90 - \frac{x}{2}}{2} = 45 - \frac{x}{4}\).

В треугольнике BNH сумма углов равна 180°:

\[\angle BNH + \angle HBN + \angle HBN = 180^\circ\]

\[90^\circ + \angle HBN + 45 - \frac{x}{4} = 180^\circ\]

\[\angle HBN = 180^\circ - 90^\circ - 45 + \frac{x}{4} = 45 + \frac{x}{4}\]

Шаг 2: Найдем угол ВАС.

По условию, угол HBN равен 12°:

\[45 + \frac{x}{4} = 12\]

\[\frac{x}{4} = 12 - 45\]

\[\frac{x}{4} = -33\]

\[x = -33 \cdot 4 = -132\]

Но т.к. угол ВАС не может быть отрицательным, то пересмотрим решение.

\[\angle HBN = 45 - \frac{x}{4}\]

\[45 - \frac{x}{4} = 12\]

\[\frac{x}{4} = 45 - 12\]

\[\frac{x}{4} = 33\]

\[x = 33 \cdot 4 = 132\]

Т.к. угол ВАС должен быть меньше 90°, то и это решение не подходит.

Т.к. BN - биссектриса, то угол \(\angle NBC = 45^\circ\).

Тогда \(\angle HBN = \angle NBC - \angle HBC = 45 - (90 - \frac{x}{2}) = \frac{x}{2} - 45\).

По условию, угол HBN равен 12°:

\[\frac{x}{2} - 45 = 12\]

\[\frac{x}{2} = 12 + 45 = 57\]

\[x = 57 \cdot 2 = 114\]

Но это больше 90°.

Тогда \(\angle BNH = 90^\circ\).

\[\angle HBN + \angle HBN + 90^\circ = 180^\circ\]

\[\angle HBN = 90^\circ - \angle HBN\]

\[\angle HBN = \frac{180 - \frac{x}{2}}{2} = 90 - \frac{x}{4}\]

\[90 - \frac{x}{4} = 12\]

\[\frac{x}{4} = 90 - 12 = 78\]

\[x = 78 \cdot 4 = 312\]

И это не верно.

Т.к. HBN равен 12°, тогда \(\angle HBN = 12^\circ\).

\[\angle ABN = \angle ABC = 2 \angle HBN = 2 \cdot 12 = 24^\circ\]

\[\angle BAC + \angle ABC + \angle BCA = 180^\circ\]

\[\angle ABC = \angle BCA = 24^\circ\]

\[\angle BAC = 180 - 24 - 24 = 132^\circ\]