В равнобедренном треугольнике ABC медиана BK = 6, боковая сторона BC = 10. Найдите отрезок MN, если известно, что он соединяет середины боковых сторон.

В равнобедренном треугольнике медиана к основанию является высотой. Поэтому \(BK\perp AC\), а в прямоугольном треугольнике \(BKC\):

\(KC^2=BC^2-BK^2=10^2-6^2=100-36=64\), откуда \(KC=8\).

Поскольку \(BK\) — медиана, \(K\) — середина основания, поэтому \(AC=2KC=16\).

Отрезок, соединяющий середины двух сторон треугольника, равен половине третьей стороны. Значит, \(MN=AC:2=16:2=8\).

Ответ: 8.