В равнобедренном треугольнике ABC с основанием AC проведена биссектриса AD, \(\angle ADC = 126^\circ\). Найдите угол CBA. Ответ дайте в градусах.

Ответ: 72°

1. Шаг 1: Найдем \(\angle DAC\):

   Так как \(AD\) - биссектриса угла \(\angle BAC\), то \(\angle DAC = \angle BAD\).

2. Шаг 2: Найдем \(\angle ACD\):

   В треугольнике \(ADC\) сумма углов равна \(180^\circ\), следовательно, \(\angle DAC + \angle ADC + \angle ACD = 180^\circ\).

   Подставим известное значение \(\angle ADC = 126^\circ\):

   \[\angle DAC + 126^\circ + \angle ACD = 180^\circ\]

   \[\angle DAC + \angle ACD = 180^\circ - 126^\circ = 54^\circ\]

3. Шаг 3: Выразим \(\angle BAC\) и \(\angle BCA\) через \(\angle DAC\):

   Так как треугольник \(ABC\) равнобедренный с основанием \(AC\), то \(\angle BAC = \angle BCA\).

   Также, \(\angle BAC = 2 \cdot \angle DAC\) (так как \(AD\) - биссектриса).

   Следовательно, \(\angle BCA = 2 \cdot \angle DAC\).

4. Шаг 4: Подставим значения углов в сумму углов треугольника \(ABC\):

   В треугольнике \(ABC\) сумма углов равна \(180^\circ\), следовательно, \(\angle BAC + \angle BCA + \angle CBA = 180^\circ\).

   Заменим \(\angle BAC\) и \(\angle BCA\) на \(2 \cdot \angle DAC\):

   \[2 \cdot \angle DAC + 2 \cdot \angle DAC + \angle CBA = 180^\circ\]

   \[4 \cdot \angle DAC + \angle CBA = 180^\circ\]

5. Шаг 5: Найдем \(\angle DAC\) из треугольника \(ADC\):

   Мы знаем, что \(\angle DAC + \angle ACD = 54^\circ\), и так как \(\angle BCA = 2 \cdot \angle DAC\), то \(\angle ACD = 2 \cdot \angle DAC\).

   Подставим это в уравнение:

   \[\angle DAC + 2 \cdot \angle DAC = 54^\circ\]

   \[3 \cdot \angle DAC = 54^\circ\]

   \[\angle DAC = \frac{54^\circ}{3} = 18^\circ\]

6. Шаг 6: Найдем \(\angle CBA\):

   Подставим значение \(\angle DAC\) в уравнение для суммы углов треугольника \(ABC\):

   \[4 \cdot 18^\circ + \angle CBA = 180^\circ\]

   \[72^\circ + \angle CBA = 180^\circ\]

   \[\angle CBA = 180^\circ - 72^\circ = 108^\circ\]

Ответ: 108°