В равнобедренном треугольнике ABC с основанием AC проведена биссектриса AD, LADC=126°. Найдите угол CBA. Ответ дайте в градусах.

Решение:

1. Анализ условия:
   • Треугольник ABC — равнобедренный с основанием AC. Это значит, что AB = BC и углы при основании равны: \(\angle BAC = \angle BCA\).
   • AD — биссектриса угла BAC. Это значит, что она делит угол BAC на два равных угла: \(\angle BAD = \angle CAD\).
   • Дано \(\angle ADC = 126^{\circ}\).
2. Найдем \(\angle ADB\):

   Углы \(\angle ADC\) и \(\angle ADB\) — смежные, их сумма равна 180°.

   \[ \angle ADB = 180^{\circ} - \angle ADC = 180^{\circ} - 126^{\circ} = 54^{\circ} \]

3. Найдем \(\angle CAD\) и \(\angle BAC\):

   Рассмотрим треугольник ABD. Сумма углов в нем равна 180°.

   \[ \angle BAD + \angle ABD + \angle ADB = 180^{\circ} \]

   Мы знаем, что \(\angle ABD = \angle CBA\) (это и есть искомый угол), и \(\angle ADB = 54^{\circ}\). Пока \(\angle BAD\) неизвестен.

   Теперь рассмотрим треугольник ADC. Угол \(\angle ADC = 126^{\circ}\). В этом треугольнике \(\angle CAD\) и \(\angle ACD = \angle BCA\) являются углами треугольника.

   В равнобедренном треугольнике ABC углы при основании равны, то есть \(\angle BAC = \angle BCA\). Также \(\angle BAC = \angle BAD + \angle CAD\). Поскольку AD — биссектриса, \(\angle BAD = \angle CAD\). Значит, \(\angle BAC = 2 \times \angle CAD\).

   Следовательно, \(\angle BCA = 2 \times \angle CAD\).

   Теперь применим сумму углов к треугольнику ADC:

   \[ \angle CAD + \angle ACD + \angle ADC = 180^{\circ} \]

   \[ \angle CAD + \angle BCA + 126^{\circ} = 180^{\circ} \]

   \[ \angle CAD + \angle BCA = 180^{\circ} - 126^{\circ} = 54^{\circ} \]

   Подставим \(\angle BCA = 2 \times \angle CAD\):

   \[ \angle CAD + 2 \times \angle CAD = 54^{\circ} \]

   \[ 3 \times \angle CAD = 54^{\circ} \]

   \[ \angle CAD = \frac{54^{\circ}}{3} = 18^{\circ} \]

   Тогда \(\angle BAC = 2 \times \angle CAD = 2 \times 18^{\circ} = 36^{\circ}\).

   И \(\angle BCA = \angle BAC = 36^{\circ}\).

4. Найдем \(\angle CBA\):

   Теперь, когда мы знаем \(\angle BAC\) и \(\angle BCA\), найдем \(\angle CBA\) в треугольнике ABC.

   Сумма углов треугольника ABC равна 180°:

   \[ \angle BAC + \angle CBA + \angle BCA = 180^{\circ} \]

   \[ 36^{\circ} + \angle CBA + 36^{\circ} = 180^{\circ} \]

   \[ \angle CBA + 72^{\circ} = 180^{\circ} \]

   \[ \angle CBA = 180^{\circ} - 72^{\circ} = 108^{\circ} \]

5. Проверка (необязательно):

   Угол \(\angle BAD = \angle CAD = 18^{\circ}\). Значит, \(\angle BAC = 36^{\circ}\).

   В треугольнике ABD: \(\angle BAD = 18^{\circ}\), \(\angle ADB = 54^{\circ}\), \(\angle ABD = 180^{\circ} - (18^{\circ} + 54^{\circ}) = 180^{\circ} - 72^{\circ} = 108^{\circ}\).

   Угол \(\angle CBA = 108^{\circ}\), что совпадает с \(\angle ABD\). Все верно.

Ответ: 108