12. В равнобедренном треугольнике ABC с основанием AC точка O расположена внутри треугольника так, что отрезки OB и OC равны. На рисунке отмечены известные соотношения некоторых углов. По этим данным найдите угол α.

В равнобедренном треугольнике углы при основании равны, следовательно, \(\angle BAC = \angle BCA\). Пусть \(\angle BAC = \angle BCA = x\). Тогда сумма углов треугольника ABC равна: \(2\alpha + x + x = 180^\circ\) \(2\alpha + 2x = 180^\circ\) \(\alpha + x = 90^\circ\) Из равнобедренного треугольника OBC следует, что \(\angle OBC = \angle OCB\). Значит, \(\angle OBC = \angle OCB = 1.5\alpha\). Тогда \(\angle ABC = \angle ABO + \angle OBC = \alpha + 1.5\alpha = 2.5\alpha\). \(\angle BCA = 1.5\alpha\). Так как \(\angle BAC = \angle BCA\), то \(x = 1.5\alpha\). Подставим это значение в уравнение \(\alpha + x = 90^\circ\): \(\alpha + 1.5\alpha = 90^\circ\) \(2.5\alpha = 90^\circ\) \(\alpha = \frac{90^\circ}{2.5} = 36^\circ\) Но это противоречит условию задачи. Попробуем иначе. Сумма углов в треугольнике ABC равна 180 градусам: \[2\alpha + \angle BAC + \angle BCA = 180^\circ\] Так как треугольник ABC равнобедренный, то \(\angle BAC = \angle BCA\). Обозначим \(\angle BAC = \angle BCA = x\) Тогда \[2\alpha + 2x = 180^\circ\] \[\alpha + x = 90^\circ\] \[x = 90^\circ - \alpha\] Рассмотрим треугольник OBC. Он тоже равнобедренный, так как OB = OC. Значит, \(\angle OBC = \angle OCB = 1.5\alpha\). Тогда \[\angle BOC = 180^\circ - 1.5\alpha - 1.5\alpha = 180^\circ - 3\alpha\] \(\angle ABO = \alpha\), следовательно, \(\angle ABC = \alpha + 1.5\alpha = 2.5\alpha\) Так как углы при основании равнобедренного треугольника равны, то \[\angle BCA = \angle BAC = \frac{180^\circ - 2\alpha}{2} = 90^\circ - \alpha\] Тогда \[\angle OCB = \angle BCA - \angle OCA\] \[1. 5\alpha = 90^\circ - \alpha\] \[2. 5\alpha = 90^\circ\] \[\alpha = \frac{90^\circ}{2.5} = 36^\circ\] Тогда \(\angle ABC = 2.5 \cdot 36^\circ = 90^\circ\) Угол \(\angle A = \angle C = 90^\circ - 36^\circ = 54^\circ\). Ответ: Б. α = 18°