114. В равнобедренном треугольнике ABC с основанием BC проведена медиана AM. Найдите медиану AM, если периметр треугольника ABC равен 32 см, а периметр треугольника ABM равен 24 см.

Так как AM - медиана, то BM = MC. Периметр треугольника ABC равен AB + BC + AC = 32 см. Периметр треугольника ABM равен AB + BM + AM = 24 см. Поскольку ABC - равнобедренный треугольник с основанием BC, AB = AC. Значит, можно переписать первое уравнение как AB + BC + AB = 32, или 2AB + BC = 32. Также, BC = 2BM, потому что M - середина BC. Тогда 2AB + 2BM = 32. Второе уравнение AB + BM + AM = 24. Умножим его на 2: 2AB + 2BM + 2AM = 48. Теперь вычтем первое уравнение (2AB + 2BM = 32) из удвоенного второго уравнения (2AB + 2BM + 2AM = 48): (2AB + 2BM + 2AM) - (2AB + 2BM) = 48 - 32, что дает 2AM = 16. Следовательно, AM = 16/2 = 8 см. Ответ: AM = 8 см.