В равнобедренном треугольнике ABC с основанием BC угол A равен 120°. Высота треугольника, проведённая из вершины B, равна 13. Найдите длину стороны BC. Запишите решение и ответ.

Рассмотрим равнобедренный треугольник ABC с основанием BC и \( \angle A = 120^{\circ} \). Пусть высота, проведённая из вершины B, равна 13. 1. Найдем углы B и C: Так как треугольник ABC равнобедренный с основанием BC, углы при основании равны. Значит, \( \angle B = \angle C \). Сумма углов в треугольнике равна 180 градусов. Поэтому: \[ \angle A + \angle B + \angle C = 180^{\circ} \] \[ 120^{\circ} + 2 \cdot \angle B = 180^{\circ} \] \[ 2 \cdot \angle B = 60^{\circ} \] \[ \angle B = 30^{\circ} \] Следовательно, \( \angle C = 30^{\circ} \). 2. Проведём высоту BH к стороне AC. Рассмотрим прямоугольный треугольник ABH. В нём \( \angle ABH = 30^{\circ} \), а BH = 13. 3. Найдем сторону AB: В прямоугольном треугольнике ABH: \[ \sin(\angle A) = \frac{BH}{AB} \] То есть, \( BH = AC \). Следовательно, \(sin(30^{\circ}) = \frac{BH}{AB} \). \[ \frac{1}{2} = \frac{13}{AB} \] \[ AB = 26 \] 4. Найдем сторону BC: Заметим, что AB = AC = 26 (т.к. треугольник равнобедренный). По теореме косинусов для треугольника ABC: \[ BC^2 = AB^2 + AC^2 - 2 \cdot AB \cdot AC \cdot \cos(\angle A) \] \[ BC^2 = 26^2 + 26^2 - 2 \cdot 26 \cdot 26 \cdot \cos(120^{\circ}) \] \[ BC^2 = 2 \cdot 26^2 - 2 \cdot 26^2 \cdot (-\frac{1}{2}) \] \[ BC^2 = 2 \cdot 26^2 + 26^2 \] \[ BC^2 = 3 \cdot 26^2 \] \[ BC = \sqrt{3 \cdot 26^2} \] \[ BC = 26\sqrt{3} \] **Ответ: Длина стороны BC равна \( 26\sqrt{3} \).**