8. В равнобедренном треугольнике АВС к основанию АС проведена медиана ВО. Найдите углы треугольника АВО, если известно, что ∠C = 20°, ∠ABC = 140°.

В равнобедренном треугольнике углы при основании равны, значит, ∠A = ∠C = 20°. Сумма углов треугольника равна 180°, следовательно, ∠BAC + ∠ABC + ∠BCA = 180°.

Проверим:

$$20° + 140° + 20° = 180°$$

ВО - медиана, проведенная к основанию АС. Медиана, проведенная к основанию равнобедренного треугольника, является также высотой и биссектрисой. Значит, ВО - высота, следовательно, ∠AOB = 90°, и ВО - биссектриса, следовательно, ∠ABO = ∠ABC/2 = 140°/2 = 70°.

Рассмотрим треугольник АВО. Сумма углов треугольника равна 180°, значит, ∠BAO + ∠AOB + ∠ABO = 180°. Следовательно, ∠BAO = 180° - ∠AOB - ∠ABO = 180° - 90° - 70° = 20°.

Ответ: ∠BAO = 20°, ∠AOB = 90°, ∠ABO = 70°.