3. В равнобедренном треугольнике АВС основание ВС = 12 см, бо- ковая сторона АВ = 10 см. Треугольник АБС подобен треугольнику МРТ, и ZP = ∠A. Найдите коэффициент подобия и площадь тре- угольника МРТ, если МТ = 36 см.

1) Найдем коэффициент подобия:

Коэффициент подобия k равен отношению сходственных сторон подобных треугольников.

Т.к. \( \angle P = \angle A \), то стороны AB и MP являются сходственными, а также стороны AC и MT являются сходственными, значит:

$$k = \frac{MT}{AC} = \frac{36}{10} = 3.6$$

2) Найдем высоту треугольника ABC, проведенную к основанию BC. Т.к. треугольник ABC равнобедренный, то высота также является медианой и делит основание BC пополам:

      A
     / \
    /   \
   /     \
B /_______\ C
D

BD = DC = 12 / 2 = 6 см.

Рассмотрим прямоугольный треугольник ABD. По теореме Пифагора:

$$AD^2 + BD^2 = AB^2$$

$$AD^2 = AB^2 - BD^2$$

$$AD = \sqrt{AB^2 - BD^2} = \sqrt{10^2 - 6^2} = \sqrt{100 - 36} = \sqrt{64} = 8 \text{ см}$$

3) Найдем площадь треугольника ABC:

$$S_{ABC} = \frac{1}{2} \cdot BC \cdot AD = \frac{1}{2} \cdot 12 \cdot 8 = 48 \text{ см}^2$$

4) Площади подобных треугольников относятся как квадрат коэффициента подобия:

$$\frac{S_{MPT}}{S_{ABC}} = k^2$$

$$S_{MPT} = S_{ABC} \cdot k^2 = 48 \cdot (3.6)^2 = 48 \cdot 12.96 = 622.08 \text{ см}^2$$

Ответ: k = 3.6, \( S_{MPT} = 622.08 \text{ см}^2 \)