3. В равнобедренном треугольнике АВС основание ВС = 12 см, бо- ковая сторона АВ = 10 см. Треугольник АВС подобен треугольнику МРТ, и ∠P = 28. Найдите коэффициент подобия и площадь тре- угольника МРТ, если МТ = 36 см.

Решение задания №3

Так как треугольник ABC подобен треугольнику MPT, и AB соответствует MT, то коэффициент подобия k равен:

\[k = \frac{MT}{AB} = \frac{36}{10} = 3.6\]

Найдем высоту h треугольника ABC, проведенную к основанию BC. Так как треугольник равнобедренный, то высота является и медианой, поэтому она делит основание BC пополам. Получаем прямоугольный треугольник, где AB - гипотенуза, половина BC - один из катетов, и h - второй катет.

По теореме Пифагора:

\[h = \sqrt{AB^2 - (\frac{BC}{2})^2} = \sqrt{10^2 - 6^2} = \sqrt{100 - 36} = \sqrt{64} = 8\]

Площадь треугольника ABC равна:

\[S_{ABC} = \frac{1}{2} \cdot BC \cdot h = \frac{1}{2} \cdot 12 \cdot 8 = 48 \text{ см}^2\]

Площадь подобного треугольника MPT будет в k² раз больше, чем площадь треугольника ABC:

\[S_{MPT} = S_{ABC} \cdot k^2 = 48 \cdot (3.6)^2 = 48 \cdot 12.96 = 622.08 \text{ см}^2\]

Ответ: Коэффициент подобия k = 3.6, площадь треугольника MPT = 622.08 см²

Проверка за 10 секунд: Пересчитай площадь, используя коэффициент подобия.

Доп. профит: Помни, что площади подобных фигур относятся как квадрат коэффициента подобия!