120 В равнобедренном треугольнике АВС с осно проведена медиана BD. На сторонах АВ и СВ о соответственно точки Е и F так, что АЕ = CF. Док а) ABDE = △BDF; б) △ADE = ACDF.

а) Докажем, что △BDE = △BDF.

1. Рассмотрим равнобедренный треугольник ABC с основанием AC. BD - медиана, проведенная к основанию. Следовательно, BD является и высотой, и биссектрисой. Таким образом, BD ⊥ AC и ∠ABD = ∠CBD.

2. Так как AE = CF, и AB = BC (так как ABC - равнобедренный), то BE = AB - AE = BC - CF = BF.

3. Рассмотрим треугольники BDE и BDF. У них:

• BE = BF (доказано выше)
• ∠DBE = ∠DBF (так как BD - биссектриса)
• BD - общая сторона

Следовательно, △BDE = △BDF по двум сторонам и углу между ними (I признак равенства треугольников).

б) Докажем, что △ADE = △CDF.

1. Так как △BDE = △BDF, то DE = DF (как соответственные стороны равных треугольников).

2. Рассмотрим треугольники ADE и CDF. У них:

• AE = CF (по условию)
• DE = DF (доказано выше)
• ∠AED = ∠CFD (так как углы смежные с равными углами ∠BED и ∠BFD)

Следовательно, △ADE = △CDF по двум сторонам и углу между ними.

Ответ: a) △BDE = △BDF доказано; б) △ADE = △CDF доказано.